Solutions of differential and integral problems

Solutions of differential and integral problems.गणितीय समस्याओं के लिए विस्तृत समाधान, जिसमें अवकलन और समाकलन शामिल हैं। अवधारणाओं जैसे कार्यों के अवकलन, आंशिक अवकलन, और बहुपद अभिव्यक्तियों का समाकलन को कवर करता है। $y = 2x^3 – 6x^2 + 6x – 4$ के अवकलन, $x^3$ के समाकलन, और अन्य समस्याओं के लिए चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण प्रदान किए गए हैं। गणित के छात्रों के लिए मूलभूत कलन कार्यों पर स्पष्टता प्राप्त करने के लिए आदर्श।

Solutions of differential and integral problems

(a)अवकलन की अवधारणा को समझाइए तथा इनके बीच अंतर बताइए। $\frac{dy}{dx}$, $\Delta y$ and $\frac{\partial y}{\partial x}$.

Explanation: विभेदन, कलन में एक प्रक्रिया है जो किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर ज्ञात करती है। किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न $y = f(x)$ concerning $x$ is denoted by $\frac{dy}{dx}$. यह किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन की स्पर्श रेखा का ढलान देता है।

• $\frac{dy}{dx}$: यह 𝑥 x के संबंध में 𝑦 y का व्युत्पन्न है। यह 𝑥 x में प्रति इकाई परिवर्तन पर 𝑦 y के परिवर्तन की दर को दर्शाता है।
• $\Delta y$: यह 𝑦y में परिमित परिवर्तन को दर्शाता है। इसका उपयोग अंतर समीकरणों और सन्निकटन में किया जाता है।
• $\frac{\partial y}{\partial x}$: यह 𝑥 x के संबंध में 𝑦 y के आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है। इसका उपयोग कई चरों के कार्यों में अन्य चरों को स्थिर रखते हुए 𝑦 y के परिवर्तन की दर को इंगित करने के लिए किया जाता है।

(b) What is the integration of $x^3$?

To find the integration of $x^3$: $\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C$

(c) Differentiate $2x^4$.

To find the derivative of $2x^4$: $\frac{d}{dx}(2x^4) = 8x^3$

(d) Integrate $dx$.

To find the integration of $dx$: $\int dx = x + C$

(e) If $y = 2x^3 – 6x^2 + 6x – 4$, find $\frac{dy}{dx}$.

To find the derivative of $y$: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^3 – 6x^2 + 6x – 4)$ $\frac{dy}{dx} = 6x^2 – 12x + 6$

(f) Differentiate $\frac{3x^3}{2x^2}$.

First, simplify the expression: $\frac{3x^3}{2x^2} = \frac{3}{2}x$

Now, find the derivative: $\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}x\right) = \frac{3}{2}$

(g) If $y = 3x^3 – 5x^2 + 5x + 4$, find $\frac{dy}{dx}$.

To find the derivative of $y$: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^3 – 5x^2 + 5x + 4)$ $\frac{dy}{dx} = 9x^2 – 10x + 5$

(h) If $y = 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1$, find $\frac{dy}{dx}$.

To find the derivative of $y$: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(4x^3 + 3x^2 + 2x + 1)$ $\frac{dy}{dx} = 12x^2 + 6x + 2$

(i) If $y = x^2 + \frac{x^3}{x^4}$, find $\frac{dy}{dx}$.

First, simplify the expression: $y = x^2 + \frac{x^3}{x^4} = x^2 + x^{-1}$

Now, find the derivative: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 + x^{-1})$ $\frac{dy}{dx} = 2x – x^{-2}$ $\frac{dy}{dx} = 2x – \frac{1}{x^2}$

(j) Solve $\frac{d}{dx} (\log x^{-7})$.

First, simplify the expression using logarithmic properties: $\log x^{-7} = -7 \log x$

Now, find the derivative: $\frac{d}{dx}(-7 \log x) = -7 \cdot \frac{1}{x} = -\frac{7}{x}$

These are the solutions to the provided questions.