differentiation and integration formulas

differentiation and integration formulas|साधारण अवकल समीकरण (ODE) और आंशिक अवकल समीकरण (PDE) में मुख्य अंतर उनके चर और समीकरण के प्रकार पर निर्भर करता है। आइए इसे विस्तार से समझते हैं:

differentiation and integration formulas

साधारण अवकल समीकरण (Ordinary Differential Equation – ODE):

• परिभाषा: ODE में केवल एक स्वतंत्र चर होता है, और अवकलज (derivatives) उसी चर के संबंध में लिए जाते हैं।
• प्रकृति: यह एकल स्वतंत्र चर के साथ कार्यों और उनके अवकलजों के बीच संबंध को व्यक्त करता है।
• उदाहरण:
  1. $\frac{dy}{dx} + y = 0$
     
  2. $\frac{d^2y}{dx^2} – 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0$
     

इन उदाहरणों में, $x$ स्वतंत्र चर है, और $y$ निर्भर चर।

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आंशिक अवकल समीकरण (Partial Differential Equation – PDE):

• परिभाषा: PDE में दो या अधिक स्वतंत्र चर होते हैं, और अवकलज (partial derivatives) इन चरों के संबंध में लिए जाते हैं।
• प्रकृति: यह कई स्वतंत्र चरों के साथ कार्यों और उनके आंशिक अवकलजों के बीच संबंध को व्यक्त करता है।
• उदाहरण:
  1. $\frac{\partial u}{\partial t} – c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0$
     (वेव समीकरण – Wave Equation)
  2. $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$
     (लाप्लास समीकरण – Laplace Equation)

इन उदाहरणों में, $x, y$ और $t$ स्वतंत्र चर हैं, और $u$ निर्भर चर।

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मुख्य अंतर:

पैरामीटर	ODE	PDE
स्वतंत्र चर	एक ही स्वतंत्र चर होता है।	दो या अधिक स्वतंत्र चर होते हैं।
अवकलज का प्रकार	साधारण अवकलज ($d/dx$)।	आंशिक अवकलज ($\partial/\partial x$)।
प्रयोग	यांत्रिकी, विद्युत परिपथ, जनसंख्या मॉडल।	द्रव गतिकी, गर्मी संचरण, क्वांटम यांत्रिकी।

अनुप्रयोग:

• ODE:
  • किसी वस्तु की गति का विश्लेषण ($F = ma$)।
  • रेडियोधर्मी क्षय की दर का मॉडल।
• PDE:
  • तरंगों और गर्मी प्रवाह का मॉडल।
  • वायुगतिकी और तरल पदार्थ का अध्ययन।

1. साधारण अवकल समीकरण (ODE) का उदाहरण

रेडियोधर्मी क्षय का मॉडल
रेडियोधर्मी पदार्थ का क्षय समय के साथ होता है और इसे साधारण अवकल समीकरण से दर्शाया जा सकता है।

समीकरण:

$$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$$

जहाँ:

• $N(t)$: समय $t$ पर पदार्थ की शेष मात्रा।
• $\lambda$: क्षय स्थिरांक (Decay constant)।
• $t$: समय।

हल:

समीकरण को हल करने पर:

$$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$

जहाँ $N_0$ पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा है।

उपयोग:

• रेडियोधर्मी सामग्री की आधा-अवधि (Half-life) निर्धारित करने में।
• कार्बन-14 डेटिंग (Carbon Dating) जैसे अनुप्रयोगों में।

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2. आंशिक अवकल समीकरण (PDE) का उदाहरण

गर्मी संचरण का समीकरण (Heat Equation)
यह समीकरण ठोस वस्तु के अंदर गर्मी के प्रवाह को दर्शाता है।

समीकरण:

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

जहाँ:

• $u(x, t)$: समय $t$ पर स्थान $x$पर तापमान।
• $\alpha$: थर्मल विसरण (Thermal Diffusivity) गुणांक।
• $x$: स्थान।
• $t$: समय।

हल का सामान्य विचार:

• प्रारंभिक शर्तें ($u(x, 0)$) और सीमा शर्तें ($u(0, t)$) देकर समाधान निकाला जाता है।

उपयोग:

• धातु के गर्म होने या ठंडा होने का विश्लेषण।
• वायुमंडलीय तापमान परिवर्तन का अध्ययन।

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इनकी तुलना: व्यावहारिक संदर्भ में

• ODE (रेडियोधर्मी क्षय): एक पिंड में समय के साथ क्षय दर को समझना।
• PDE (गर्मी संचरण): पूरे पिंड में समय और स्थान दोनों पर तापमान के वितरण का अध्ययन।