differential and integral calculusअवकलन और समाकलन के 9 प्रश्नों के हल

differential and integral calculusअवकलन और समाकलन के 9 प्रश्नों के हल|इस दस्तावेज़ में अवकलन और समाकलन के विभिन्न प्रश्नों के विस्तृत हल हिंदी में प्रस्तुत किए गए हैं। प्रत्येक प्रश्न का हल चरणबद्ध तरीके से किया गया है, जिसमें आवश्यक गणितीय सिद्धांतों और विधियों का उपयोग किया गया है।

differential and integral calculusअवकलन और समाकलन के 9 प्रश्नों के हल

यहाँ दिए गए सभी अवकलन और समाकलन के प्रश्नों के हल हिंदी में प्रस्तुत किए गए हैं:

(i) निम्नलिखित अवकलज ज्ञात कीजिए—

(A)

$\frac{d}{dx} (\tan x)$

:

 

$$\frac{d}{dx} (\tan x) = \sec^2 x$$

 

(B)

$\frac{d}{dx} (x^2 \log_e x)$

:

 

$$\frac{d}{dx} (x^2 \log_e x) = 2x \log_e x + x$$

 

(C)

$\frac{d}{dx} (x^{-3})$

:

 

$$\frac{d}{dx} (x^{-3}) = -3x^{-4}$$

 

(D)

$\frac{d}{dx} (\sqrt{x} \log x)$

:

 

$$\frac{d}{dx} (\sqrt{x} \log x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} \log x + \frac{1}{\sqrt{x}}$$

​

(E)

$\frac{d}{dx} \left(5 x^{2/3}\right)$

:

 

$$\frac{d}{dx} \left(5 x^{2/3}\right) = \frac{10}{3} x^{-1/3}$$

 

(F)

$\frac{d}{dx} (\sin x \cos x)$

:

 

$$\frac{d}{dx} (\sin x \cos x) = \cos^2 x – \sin^2 x$$

 

(G)

$\frac{d}{dx} \left(\frac{x – 1}{x^2}\right)$

dxd​(x2x−1​):

 

$$\frac{d}{dx} \left(\frac{x – 1}{x^2}\right) = \frac{-1}{x^2} + \frac{2(1 – x)}{x^3} = \frac{1 – 3x}{x^3}$$

​

(H)

$\frac{d}{dx} (5x^2)$

:

 

$$\frac{d}{dx} (5x^2) = 10x$$

 

(I)

$\frac{d}{dx} (5e^x)$

:

 

$$\frac{d}{dx} (5e^x) = 5e^x$$

 

(J)

$\frac{d}{dx} (x^5)$

:

 

$$\frac{d}{dx} (x^5) = 5x^4$$

dxd​(x5)=5x4

(K) यदि $f(x, y) = \log(x^2 + y^2)$

 

 

 

 

, तो $f_x(x)$

 

 

 

 

तथा $f_y(y)$

 

 

 

 

 ज्ञात कीजिए:

दिया गया फलन:

$$f(x, y) = \log(x^2 + y^2)$$

 

 

 

 

 

$f_x(x)$

 

 

 

 

 ज्ञात कीजिए:

यह

$f$

का

$x$

के सापेक्ष आंशिक अवकलज है। इसे हम

$\frac{\partial f}{\partial x}$

से दर्शाते हैं।

$$f_x = \frac{\partial}{\partial x} \log(x^2 + y^2)$$

 

 

 

 

 

चेन नियम का उपयोग करके:

$$= \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2)$$

 

 

 

 

$$= \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2x$$

 

 

 

 

$$= \frac{2x}{x^2 + y^2}$$

 

 

 

 

​

$f_y(y)$

 

 

 

 

ज्ञात कीजिए:

यह

$f$

का

$y$

के सापेक्ष आंशिक अवकलज है। इसे हम

$\frac{\partial f}{\partial y}$

से दर्शाते हैं।

$$f_y = \frac{\partial}{\partial y} \log(x^2 + y^2)$$

 

 

 

 

 

चेन नियम का उपयोग करके:

$$= \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + y^2)$$

 

 

 

 

$$= \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2y$$

 

 

 

 

$$= \frac{2y}{x^2 + y^2}$$

 

 

 

 

​

अतः,

$f_x(x) = \frac{2x}{x^2 + y^2}$

और

$f_y(y) = \frac{2y}{x^2 + y^2}$

​ हैं।

​

(L) $\frac{d}{dx} \left[\frac{3x^3 + 15x^2 + 8x + 15}{3x}\right]$

 

 

 

 

dxd​[3x3x3+15x2+8x+15​]:

 

$$\frac{d}{dx} \left[\frac{3x^3 + 15x^2 + 8x + 15}{3x}\right] = \frac{d}{dx} \left[x^2 + 5x + \frac{8}{3} + \frac{5}{x}\right]$$

dxd​[3x3x3+15x2+8x+15​]=dxd​[x2+5x+38​+x5​]

$$= 2x + 5 – \frac{5}{x^2}$$

=2x+5−x25​

(M)

$\frac{d}{dx} (\log x \cos x)$

dxd​(logxcosx):

 

$$\frac{d}{dx} (\log x \cos x) = \frac{1}{x} \cos x – \log x \sin x$$

dxd​(logxcosx)=x1​cosx−logxsinx

(ii) समाकलन कीजिए— (a) $\int (x^5 + x^2) \, dx$

 

 

 

 

:

प्रश्न:

$$\int (x^5 + x^2) \, dx$$

 

 

 

 

 

हम समाकलन को अलग-अलग करके हल कर सकते हैं:

$$\int x^{5}dx+\int x^{2}dx$$

 

 

 

 

अब हम प्रत्येक पद का समाकलन करते हैं:

पहला पद:

$$\int x^5 \, dx = \frac{x^{5+1}}{5+1} = \frac{x^6}{6}$$

 

 

 

 

​

दूसरा पद:

$$\int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$$

 

 

 

 

​

दोनों को जोड़कर:

$$\int (x^5 + x^2) \, dx = \frac{x^6}{6} + \frac{x^3}{3} + C$$

 

 

 

 

 

अतः,

$\int (x^5 + x^2) \, dx$

∫(x5+x2)dx का समाकलन है:

$$\frac{x^6}{6} + \frac{x^3}{3} + C$$

 

 

 

 

 

जहाँ

$C$

समाकलन स्थिरांक है।

(B) $\int x^2 \log_e x \, dx$

 

 

 

 

:

 

$$\text{इसे भाग द्वारा समाकलन से हल करेंगे: } u = \log_e x, dv = x^2 dx$$

 

$$du = \frac{1}{x} dx, v = \frac{x^3}{3}$$

​

$$\int x^2 \log_e x \, dx = \log_e x \cdot \frac{x^3}{3} – \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx$$

 

$$= \frac{x^3 \log_e x}{3} – \int \frac{x^2}{3} dx = \frac{x^3 \log_e x}{3} – \frac{x^3}{9} + C$$

 

(C)

$\int 6x^3 (x + 5)^2 \, dx$

∫6x3(x+5)2dx:

 

$$u = x + 5, \, du = dx, \, v = 6x^3$$

 

$$= 6 \int x^3 (x + 5)^2 \, dx = 6 \int x^3 (x^2 + 10x + 25) \, dx$$

 

$$= 6 \int (x^5 + 10x^4 + 25x^3) \, dx$$

 

$$= 6 \left(\frac{x^6}{6} + \frac{10x^5}{5} + \frac{25x^4}{4}\right) + C$$

 

$$= x^6 + 2x^5 + \frac{150x^4}{4} + C$$

 

(iii)−5e2x का अवकलन कीजिए: